Copula函数应用基本流程包括: ①根据实际研究需要选定随机变量；②确定各随机变量的边缘分布；③计算相关系数及显著性检验；④确定各备选Copula函数的参数；⑤ Copula函数的拟合检验与优选；⑥推求联合概率分布和条件概率分布；⑦结合实际问题开展相关后续研究。各步骤相关具体方法可以参见文献[2-3]。表 1列出了Copula函数在水文水资源应用领域的主要研究问题及变量。

降雨、洪水、干旱等很多水文事件往往具有多个特征属性, 考虑这些属性的相关性并进行多变量频率分析可以更加科学合理、全面地评估水文事件的整体特征。水文事件多变量频率分析研究的是发生在同一个站点/区域的同一个水文事件的多个特征属性之间的相关性。

降雨事件通常包括降雨强度、降雨总量和降雨历时等特征属性, 分析这些特征属性变量的相关性, 并建立联合概率分布, 有助于更加全面地认识降雨事件的变化规律。Zhang和Singh^[7]采用4种Archimedean Copula函数分别对降雨强度和降雨总量、降雨历时和降雨总量及降雨强度和降雨历时进行两变量联合分析；许月萍等^[8]比较分析了4种Copula函数在模拟不同历时降雨量的联合分布的差异及其对降雨频率分析的影响; Vandenberghe等^[9]基于比利时105 a的10 min降雨数据, 采用二维Copula函数拟合了暴雨特征量之间的相关性结构；Balistrocchi和Bacchi^[10]采用Copula函数分析了暴雨总量和暴雨历时之间的统计相关性；Jun等^[11]通过Copula函数建立暴雨强度和暴雨历时的两变量联合分布来计算场次暴雨事件的发生概率；Li等^[12]分别采用时变GEV分布和Copula函数来模拟年最大降雨总量和降雨强度的边缘分布和联合分布, 进行非一致性条件下两变量降雨频率分析。

工程实践中, 中小流域或城市排水暴雨洪水计算时常遇到流量资料不足情况, 采用Copula函数构建暴雨强度、暴雨历时的联合分布, 分析确定当地雨量-频率-历时关系或暴雨强度公式, 是提高用暴雨资料推求设计洪水精度的一条有效途径。然而, 目前降雨事件多变量频率分析的系列抽样方法多采用年最大取样法, 可能会遗漏一些数值较大的暴雨, 造成小重现期部分明显偏小, 需要加强年多次取样法在降雨事件多变量频率分析的应用研究, 以扩大暴雨信息量, 增强样本代表性。

洪水事件属性包括洪峰、洪量和洪水历时等, 考虑这些属性的相关性并进行多变量频率分析可以更好地掌握洪水事件特征, 并应用于设计洪水估算和和风险分析。这方面的研究最初主要是分析计算洪峰、洪量和洪水历时等特征属性的联合和条件概率分布、联合和条件重现期。Zhang和Singh^[13]基于Copula函数建立洪峰、洪量和历时的二维联合概率分布, 并对条件重现期和联合重现期进行了探讨。在此基础上, 如何在多变量框架下进行洪水联合设计值估算成为学者们关心的热点问题, 核心是多变量重现期的定义和联合设计值的选取^[14]。多变量重现期以“或”(“OR”)、“且”(“AND”)和Kendall重现期应用最为广泛^[15-18], 最近兴起的结构荷载重现期也逐步引起了学者们的注意, 联合设计值选取的常用方法是最可能组合法^[19-20]。针对变化环境导致的洪水非平稳性特征, 也有学者开展了非一致性多变量洪水频率分析, 包含洪峰、洪量边缘分布的非一致性, 以及洪峰、洪量相关结构的非一致性^[21-24]。同时, 多变量洪水分析计算的不确定性评估也是一个前沿方向, 不仅涉及边缘分布的不确定性, 还要考虑相关性结构(Copula函数)的不确定性。两者又均涉及到样本抽样、线型(类型)选取和参数估计不确定性, 评估综合不确定性非常复杂^[25-27]。此外, 为了在水库控制运用中充分考虑洪水的季节性变化规律, 提高防洪兴利综合效益, 基于Copula函数的分期设计洪水和水库管运洪水也是学者们关注的焦点^[28-30]。

目前洪水事件的多变量频率分析仍然面临一些挑战。首先, 多变量重现期的概念比单变量情形复杂, 尚无公认和通用的定义方法, 基本原则是要根据具体研究问题的物理背景而定。其次, 对于同一防洪标准对应无穷多种洪峰、洪量组合, 如何科学合理地选择设计值已成为另一个关键问题, 当前应用最广泛的是最可能组合法。如何在多变量框架下进行洪水联合设计值估算及风险评估仍然是一个有争议的问题, 需要进一步研究完善。最后, 由于洪水通常关心的是上尾部稀遇频率的设计值, 多变量洪水分析模型比单变量模型具有更大的抽样不确定性, 导致模型成果不确定性很大。

描述干旱事件的特征属性主要有干旱烈度、烈度峰值、干旱强度、干旱历时和干旱间隔时间等, 对多个干旱特征属性进行多变量频率分析可以更加科学地评估干旱风险。Copula函数早期主要被应用在对干旱特征值的二元分析上, 其中以干旱历时和干旱烈度的联合概率分布应用最广^[31-33]。为了更全面地反映干旱事件的多维特征, 多元Copula函数也被应用于干旱问题的多特征分析中^[34-36]。近年来, 针对气候变化和人类活动导致的干旱非一致性问题, 有学者开展了变化环境下的多变量干旱频率分析研究, 通常采用时变Copula函数、滑动窗口或全球气候模型(GCMs)气候情景分析等方法^[37-39]。

尽管目前采用的干旱指标很多, 但这些指标大多数只是从某一方面(降水亏缺或地表径流减少等)来评估旱情严重程度, 未能全面地评估干旱风险, 难以反映旱情在地区间和季节上的差异。因此, 通过融合多种旱情指标, 构建能反映干旱发生机理和过程的综合指标仍然是今后研究的重点之一。此外, 受气候变化和人类活动的影响, 亟待开展基于非一致水文序列资料的水文干旱事件重现期和设计值估算及不确定性评估方法研究, 以适应变化环境带来的影响。

水文事件遭遇组合分析主要针对具有物理联系和相关性的不同时空水文事件变量之间, 包括洪水遭遇中干支流不同站点的洪水遭遇、设计洪水地区组成中水库断面和区间洪水的遭遇组合、复合洪涝事件中多个致灾因子遭遇、不同站点或地区的丰枯遭遇等。

洪水遭遇是指干流与支流或支流与支流的洪峰在相差较短的时间内到达同一河段的现象。闫宝伟等^[40]和陈璐等^[41]分别采用二维和四维Copula函数研究了最大洪水发生时间及发生量级遭遇的风险特征；Huang等^[42]提出了一种干支流洪水过程遭遇概率分析方法；Peng等^[43]研究了考虑历史洪水信息的洪水遭遇概率；Feng等^[44]采用时变Copula函数探讨了气候变化影响下的非一致性洪水遭遇风险。此外, 河流交汇处的洪水遭遇组合和工程水文设计问题也受到学界关注^[45-46]。

目前在洪水遭遇概率计算方面做了很多有益的探索, 但大多数研究仅分析了年最大洪水遭遇情况, 没有考虑其他有可能危及保护目标安全的较大洪水遭遇情况, 导致计算的遭遇概率与实际情况不完全相符。另外, 如何将洪水遭遇分析成果应用于干支流水库群防洪补偿调度、错峰调度, 以发挥其实际价值, 也是值得继续探讨的课题。

设计洪水地区组成主要研究当防洪控制断面发生设计洪水时, 其上游水库断面、区间流域等各分区来水的分配及遭遇组合的形式。闫宝伟等^[47]提出的基于Copula函数的最可能地区组成法统计意义明确、方案数唯一, 应用前景良好^[48], 也有学者提出了基于Copula函数的改进离散求和法克服了传统离散求和法需要进行变量独立性转换的问题^[49]。郭生练等^[50]在此基础上提出了水库运行期设计洪水计算理论和方法, 并在金沙江下游梯级水库、三峡水库运行期设计洪水及汛控水位推求中得到了应用^[51-53]。

洪水的空间分布情况对水库群防洪系统设计与调度运用具有重要影响, 设计洪水地区组成分析是不可回避的关键问题。在水库群防洪联合调度中采用运行期设计洪水及汛控水位作为依据, 并与实时洪水预报结合起来, 是一个具有潜力和实用价值的方向。然而, 目前实际中应用最广泛的方法是将设计断面设计洪量分配给上游各分区以研究水库调洪影响, 这类方法假定水库调蓄后设计断面的洪水与天然情况同频率, 没有充分考虑洪水地区组成的随机特性和水库调洪影响, 此外还隐含假设了设计断面洪水的洪峰、洪量同频率, 其合理性需要进一步探究。

洪涝灾害有时是由多个致灾因子遭遇组成的复合水文事件^[54]。例如, 中国的许多沿江平原地区和三角洲河网地区大多地势低平, 暴雨涝水能否顺利排除不仅取决于设计暴雨标准, 还受到外江水位的极大制约, 设计暴雨和外江水位的遭遇问题本质上就是一个两变量联合分布问题。此外, 沿海地区城市的外江通常为感潮河段, 其洪水位既受上游河道洪水的作用, 也受下游河口潮位的影响, 任一时刻的洪水位都是上游河道洪水和下游河口潮位共同作用的结果。因此, 可采用Copula函数构造区间暴雨与外江水位、暴雨与潮位、上游洪水与河口潮位等多个致灾因子的联合概率分布进行组合风险分析^[55-58]。

多致灾因子影响下的复合洪涝事件分析最终目的是要研究多个荷载作用下的荷载效应变量的概率分布问题, 而当前的大多数研究局限于多个荷载本身的联合概率。例如, 感潮河段洪水位是上游河道洪水和下游河口潮位共同作用的结果, 堤防工程结构破坏机制是河段洪水位超过了某一指定高程(如堤防设计洪水位)。因此, 在今后复合洪涝事件研究中应试图建立荷载效应变量与荷载变量的功能函数, 基于随机变量函数的概率分布理论推算出荷载效应变量的概率分布, 并据此进行工程设计和风险评估。

丰枯遭遇实质是气象水文变量的多区域组合问题, 通常涉及到调水工程水源区和受水区的降水或径流组合、多条河流的径流组合或枯水流量组合等形式。分析水源区和受水区的丰枯遭遇对于跨流域水资源调配、多水源联合调度等都具有重要意义, 康玲和何小聪^[59]、Du等^[60]分别采用Copula函数研究了南水北调中线工程和山东省沭河至付疃河调水工程的丰枯遭遇问题。此外, 很多学者在多条河流的径流组合、不同站点的枯水流量组合等方面作了有益的探索^[61-62], Ahmadi等^[63]还进行了基于时变Copula函数的两变量非一致性枯水频率联合分析。

目前丰枯遭遇研究采用时间尺度一般为全年、汛期或非汛期, 对于降雨径流的变化描述不够精细, 后续研究应尽可能细化到月尺度以增强实用性。此外, 当前的丰枯遭遇研究通常采用天然径流量资料, 然而由于人类活动(水库调蓄、土地利用等)影响了天然径流的时空分布特征, 原有的天然丰枯遭遇规律可能已经发生变化, 需要加强考虑人类活动影响的丰枯遭遇研究, 更加真实地反映遭遇情况。

单站随机模拟重点是描述水文事件多个特征属性间的相关性结构或水文时间序列的自相关特性, 核心是如何构造有效的联合分布或条件分布。多站随机模拟则要在此基础上考虑站点间的空间相关性, 同时模拟时间、空间2个相关结构。Copula函数是刻画变量相关性的有效工具, 近年来也应用于水文随机模拟研究中。从随机模拟的对象来看, 主要可以分为降雨随机模拟、洪水随机模拟和径流随机模拟。

降雨事件随机模拟首先基于Copula函数模拟降雨特征属性, 如降雨总量、降雨历时、降雨强度、降雨间隔时间的相关性结构, 然后模拟降雨的时程分配模式, 最后对两者进行耦合。大多数研究主要针对单站点降雨事件随机模拟, 时间尺度上可以实现日、小时和分钟^[64-67。Bárdossy和Pegram^[68]利用多维Copula函数同时模拟各站点间降雨量和降水发生的空间相关性, 开发了多站点降雨随机模拟模型。

近些年来, 由于人类活动的强烈干扰, 径流形成的条件发生显著的变化, 破坏了水文资料系列的一致性, 过去的实测资料无法反映未来的变化规律, 在人类活动影响后新的径流形成条件下通过暴雨资料推求设计洪水是一种可行途径。因此, 很有必要将建立的能考虑暴雨特征量间内在相关性的随机降水模型与流域水文模型进行有机耦合, 得到长系列的流量过程, 从中统计得到洪水频率曲线, 推求变化环境下的设计洪水。目前这方面的研究刚刚起步, 尚未进入实用阶段。

洪水事件随机模拟一般分为2个模块, 即基于Copula函数的洪峰、洪量的联合随机模拟和洪水过程线形状的模拟^[69]。de Michele等^[70]采用二维Copula函数随机模拟水库洪峰、洪量进而生成大量入库洪水过程线, Liu等^[71]在此基础上建立了大坝洪水漫顶风险率计算模型。也有学者直接采用三维Copula函数构建了洪量、洪峰和洪水历时的联合概率分布随机模拟洪水过程线^[72]。

目前基于Copula函数的洪水随机模拟研究主要集中在单站洪水过程模拟, 对于多站洪水同步模拟研究较少, 而多站洪水随机模拟是水库群系统地区组成分析和运行期设计洪水及汛控水位计算的有力工具, 可以较好地克服水库调蓄后设计断面的洪水与天然情况同频率假定的问题, 建议加强这方面的研究。

径流随机模拟的核心是描述径流时间序列的自相关结构, 因此构造径流随机模拟模型的重点就转移到如何构造有效的联合分布或条件分布。闫宝伟等^[73]建立了基于Copula函数的一阶非平稳时间序列季节性模型；Chen等^[74]在此基础上进一步提出了可以考虑二阶自相关的日流量随机模拟方法；Chen等^[75]将基于Copula函数的径流随机模拟推广到多站点的月或日流量序列。

径流随机模拟技术的正确使用, 将有助于得到比传统方法更为可靠的结果, 但是目前基于Copula函数的径流随机模拟研究大都局限于径流样本随机生成理论方法的研究, 应积极推动随机模拟生成径流系列在水资源工程规划设计和管理运用实际中的应用。另外, 由于在径流随机模拟中所使用的模型缺乏物理机制, 存在较大的模型不确定性, 亟待加强模型与参数的不确定性研究工作。

水文模型与预报中大量存在变量相关性问题, 例如评估水文预报结果的不确定性时需要模拟预报和实际流量之间的相关性, 水文模型的输入、参数和输出之间也存在相关性^[76]。应用Copula函数解决水文模型预报相关问题主要包括水文预报不确定性评估和水文模型输入、参数和输出之间相关性模拟等。

采用Copula函数构建预报流量和实际流量的联合概率分布, 然后基于给定预报流量时实际流量的条件概率分布分析评估水文预报不确定性^[76], 或用条件概率分布推导描述贝叶斯先验分布和似然函数, 再基于得到的后验分布对水文预报不确定性进行评价^[77]。Madadgar和Moradkhani^[78]提出了耦合Copula函数的贝叶斯模式平均(BMA)方法；刘章君等^{[77, 79]}提出了基于Copula函数的单变量和多变量水文不确定性处理器(HUP)。

近几年, 基于Copula函数的水文预报不确定性评估方法取得了快速发展, 应用非常灵活, 可以实现非线性和非正态条件下的概率水文预报。但仍存在有待进一步深入研究的问题:一方面, 基于Copula函数的概率水文预报应逐步实现从单站点、单变量向多站点、多变量转变, 以期考虑水文变量间的时空相关性并降低预报不确定性；另一方面, 要加强概率水文预报结果在洪水风险预警、水库调度风险决策中的应用, 实现预报与风险决策过程的有机结合, 真正体现概率水文预报的价值和效益。

通过利用Copula函数建立水文模型各输入、各参数或输入和参数之间的联合分布, 捕捉其相关性结构, 得到的结果比假定它们相互独立更加合理。Xiong等^[80]基于Copula函数和概率分布推导法得到了年径流的概率分布。Fan等^[81]提出了基于Copula函数的粒子滤波方法用于水文资料同化。Wang和Fu^[82]基于Copula函数建立了二元概率Budyko方法框架, 并应用于全球水资源可利用量的概率评估。此外, 也有学者以洪水或径流作为因变量, 采用Copula函数直接建立因变量与自变量(影响因子)的联合分布, 基于条件概率分布进行洪水或径流模拟预测^[83-84]。

不同水文模型各输入、各参数或输入和参数之间的相关性各具特点, 建模时采用能准确捕捉相关性特征的Copula函数极为重要, 如何有效地识别最优Copula函数仍有待进一步研究。采用Copula函数建立洪水(或径流)及其影响因子的条件概率分布涉及的主要影响因子通常有多个, 便于构建高维Copula函数的藤Copula模型得到普遍应用, 然而目前藤Copula函数的结构和参数不确定性分析考虑较少, 有必要加强这方面的研究。

除了上述几个方面外, 国内外学者还在降雨—径流关系变异诊断^[85]、水文气象站网优化设计^[86]、水库随机优化调度^[87]等方面进行了探索性研究, 拓展了Copula函数在水文水资源领域的应用范围。

虽然Copula函数是描述变量间相关性结构和多变量水文分析的一种有效数学工具, 但要有一个客观的认识, 既要认识到其优越性, 也不能不加分析判断盲目使用, 在实际应用中应注意以下几个方面的问题。

(1)  Copula函数的应用条件。Copula函数不是一种万能工具, 并不是所有关于相关性和多元分布的问题都可以套用。应用Copula函数的前提条件是确保所分析的变量之间确实存有物理上的相关性, 否则会得到错误的结论。

(2)  Copula函数的参数估计。以水文领域中最常采用的阿基米德Copula函数族为例, 目前二维情形可以采用Kendall秩相关系数法；对于三维及以上的Copula函数, 大多采用极大似然法。依据边缘分布估计方法的不同, 极大似然方法又可分为全参数、两阶段和半参数极大似然法, 其中半参数法不受边际分布的影响, 稳健性较好, 推荐使用。也有学者提出贝叶斯方法和非参数方法进行参数估计, 但目前实际中应用较少。

(3)  对称型和非对称型Copula函数。对称型Copula函数要求变量两两之间的相关性结构相同或非常相似, 要求变量之间的相关系数非常接近, 但多变量水文分析实际中两两变量的相关性结构往往并不相同。对于具有不对称相关性的高维随机变量, 单参数难以真实反映其复杂的不对称相关结构。非对称型Copula函数具有更加灵活的参数和结构形式, 更适用于拟合高维的水文随机变量, 在水文多变量分析计算实际应用中更加合适。

(4)  Copula函数的选择。Copula函数本身不具有水文物理基础, 不能从物理意义上确定各随机变量的理论联合分布模型。实际应用中采用不同Copula函数, 计算结果有较大差异, 因此选取合适的Copula函数尤其关键。实际工作中一般选取与已有实测资料配合最优的Copula函数, 常用的拟合优度准则有均方根误差准则(RMSE值最小)、Akaike信息准则(AIC值最小)以及Cramér-von Mises检验法(P值大于0.05通过拟合检验, 统计量S_n最小作为最优Copula函数)。

(5)  Copula函数的尾部特性。不同水文事件表现出的尾部相关特性差异较大, 不考虑尾部相关性可能会高估或低估风险。例如, 通常认为Gumbel-Hougaard Copula函数能够拟合洪水的上尾相关性, Clayton Copula函数可以拟合枯水的下尾相关性, 若没有考虑尾部相关性而误用了其他的Copula函数, 对于洪水和枯水都会造成高估或低估灾害事件的风险。因此, 拟合优度只是选择Copula函数的必要条件, 而不是充分条件, 应根据水文事件特点选择可以准确描述尾部相关特性的Copula函数。

(6)  多变量重现期的选取。单变量情况下, 重现期和设计值存在唯一的对应关系, 计算方法清晰简单。在多变量情况下, 由于涉及到各变量的多种组合, 目前对多变量重现期的定义也相应有很多种, 最常用的有“或”(“OR”)、“且”(“AND”)、Kendall和生存Kendall重现期以及最近兴起的结构荷载重现期。这些多变量重现期表征的物理意义和危险区域的划分方式不同, 实际应用中尚没有公认、通用的选择方法, 基本原则是要根据具体研究问题的物理背景而定, 选择能够正确表征水文失事机理的多变量重现期, 作为水文事件联合设计和风险评估的依据。

(7)  Copula函数模型成果的抽样误差。相同样本容量下, 基于Copula函数的多变量水文分析计算模型比单变量模型具有更大的抽样不确定性, 相同模型成果许可误差下需要的样本容量更大(如单变量模型需要几十年资料, 相应多变量模型则可能需要几百年)。因此, 虽然Copula函数在理论上是构建多变量水文分析计算模型的一种有效工具, 但在应用层面上, 仍然难以摆脱工程实践中样本容量较小的制约, 应该重视模型成果不确定性分析。

自Copula函数理论与方法引入水文水资源领域以来, 许多学者对其进行研究和探讨, 在水文事件多变量频率分析、水文事件遭遇组合分析、水文随机模拟、水文模型与预报及其他问题中的应用研究迅速发展。经过十几年在水文水资源领域中的应用, 已证实Copula函数是一种灵活构造多变量联合分布和处理多变量问题的有效工具, 并显示出良好的适用性和不可替代的优越性。鉴于水文现象的高度复杂性, 仍存在不少需要继续深入探讨的问题, 建议进一步开展以下几个方面的研究工作。

(1)  继续完善Copula函数的理论和方法。首先, 高维Copula函数的构建及其参数估计方法仍是Copula理论研究中的难点之一, 藤Copula可以将高维Copula分解为若干二元Copula, 在应用中降低计算量, 使得高维问题得到简化, 是今后研究的重点。其次, 目前应用最广泛的阿基米德和椭圆类Copula函数都有其自身的局限性, 后续研究可以拓展新的Copula函数簇, 以适应复杂多变的水文现象。最后, 与其他水文分析计算方法相结合也是未来的一种发展趋势, 如Copula函数与熵理论、贝叶斯理论、马尔可夫链等结合。

(2)  深入开展非一致性条件下的Copula函数建模方法研究。由于气候变化及人类活动(水库调蓄、土地利用和植被变化)的影响, 应用Copula函数建模时单个水文变量的边缘分布和水文变量之间的相关结构都可能发生变化。时变Copula函数模型的求解难度增大, 仍需在实用化方面进一步研究。因此, 建议深入开展非一致性条件下的Copula函数建模方法研究, 以期得到更加科学实用的结论。

(3)  建立Copula函数多变量模型的不确定性分析框架。基于Copula函数建立的多变量模型往往比单变量模型具有更大的不确定性, 不仅涉及边缘分布的不确定性, 还要考虑相关性结构(Copula函数)的不确定性。两者又均涉及到样本抽样、线型(类型)选取和参数估计不确定性, 评估综合不确定性非常复杂, 目前相关研究仍处于起步阶段, 亟待建立一套多变量模型不确定性分析框架。

(4)  推进Copula函数在水文水资源领域更深、更广层次的应用研究。深化Copula函数在水文事件多变量频率分析、水文事件遭遇组合分析、水文随机模拟、水文模型与预报等现有领域的应用, 改进和完善当前研究存在的问题和不足。此外, 进一步拓展Copula函数的应用范围, 例如水文系列插补延长、山洪灾害动态临界雨量计算、水位—流量关系、相应水位(流量)预报等。