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圆形断面管道非满流水动力特性

丁法龙 茅泽育

丁法龙, 茅泽育. 圆形断面管道非满流水动力特性[J]. 水科学进展, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
引用本文: 丁法龙, 茅泽育. 圆形断面管道非满流水动力特性[J]. 水科学进展, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
DING Falong, MAO Zeyu. Hydraulic characteristics of partially-filled flow in circular pipe[J]. Advances in Water Science, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
Citation: DING Falong, MAO Zeyu. Hydraulic characteristics of partially-filled flow in circular pipe[J]. Advances in Water Science, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008

圆形断面管道非满流水动力特性

doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
基金项目: 

国家重点研发计划资助项目 2016YFC0402504

详细信息
    作者简介:

    丁法龙(1991-), 男, 山东肥城人, 博士研究生, 主要从事水力学及河流动力学方面研究。E-mail:dflaizy@163.com

    通讯作者:

    茅泽育, E-mail:maozeyu@mail.tsinghua.edu.cn

  • 中图分类号: TV133.1

Hydraulic characteristics of partially-filled flow in circular pipe

Funds: 

The study is financially supported by the National Key R & D Program of China 2016YFC0402504

图(6) / 表 (3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-09-27
  • 网络出版日期:  2020-04-10
  • 刊出日期:  2020-07-01

圆形断面管道非满流水动力特性

doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
    基金项目:

    国家重点研发计划资助项目 2016YFC0402504

    作者简介:

    丁法龙(1991-), 男, 山东肥城人, 博士研究生, 主要从事水力学及河流动力学方面研究。E-mail:dflaizy@163.com

    通讯作者: 茅泽育, E-mail:maozeyu@mail.tsinghua.edu.cn
  • 中图分类号: TV133.1

摘要: 为探究边壁双曲率对其水动力特性的影响,应用RNG k-ε紊流模型和部分面积体积障碍模拟技术(FAVOR),针对圆管非满流建立三维数值模型,通过物理模型试验结果验证该数值模型的可行性。针对底坡和充满度不同组合条件进行数值试验,分析断面流速、壁面切应力和雷诺切应力分布规律等。研究结果表明:圆管非满流断面上不同垂线的流速分布具有较好的相似性,据此提出了垂线流速分布的抛物线公式;针对不同充满度条件提出了壁面切应力沿湿周分布的统一表达式;雷诺切应力沿垂线服从线性分布规律,充满度越大且距中垂线越远,沿垂线的变化梯度越小;当充满度大于0.5时,由于受二次流影响断面中垂线上雷诺切应力出现负值。

English Abstract

丁法龙, 茅泽育. 圆形断面管道非满流水动力特性[J]. 水科学进展, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
引用本文: 丁法龙, 茅泽育. 圆形断面管道非满流水动力特性[J]. 水科学进展, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
DING Falong, MAO Zeyu. Hydraulic characteristics of partially-filled flow in circular pipe[J]. Advances in Water Science, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
Citation: DING Falong, MAO Zeyu. Hydraulic characteristics of partially-filled flow in circular pipe[J]. Advances in Water Science, 2020, 31(4): 547-555. doi: 10.14042/j.cnki.32.1309.2020.04.008
  • 圆形断面管道因具有较好的受力特性及便于预制和运输等特点, 被广泛应用于人工管渠、输水涵洞、城市雨洪管道等灌溉和给排水实际工程。出于对通风、防爆及适应水量变化等问题的考虑, 设计时通常将圆管内水流设计为非满流[1], 因而属明渠流动。现有的圆管非满流水力计算大多采用基于河道实测资料所得的经验公式, 如曼宁-谢才公式, 未考虑圆形断面独特的断面几何形状的影响, 如流量随水深呈非单一性的变化[2]。相较于梯形、矩形、三角形等折线形断面明渠及近似抛物形的天然河道, 圆管非满流水动力特性更为复杂, 至今针对性的研究成果发表相对较少。

    国内外关于圆管非满流的研究大多是针对断面流速分布, 这些分布模型都是在天然河道或其他断面形状明渠研究成果的基础上, 基于若干假定或简化推导得到, 未考虑到圆管边壁的特殊性及非满流断面参数(如充满度)变化对水流的影响, 模型推导背景与真实流动场景并不完全相同。Guo等[3]采用分段描述的方法, 假设中垂线上水面附近流速呈三次多项式分布、其余服从对数尾流律, 沿用矩形明渠的研究成果提出修正对数尾流律流速分布的解析表达式, 显然这与圆管非满流流动情况不相符合。Jiang等[4]基于信息熵的概念和原理以及假定的速度累积分布函数, 导出了断面流速分布解析表达式, 但所采用的速度累积分布函数至今并未得到合理的解释及验证, 且推导过程主要依靠水力要素的统计特性分析, 物理概念较为模糊。同时, 这些解析表达式都存在参数众多、取值不易确定、积分困难等局限, 在工程实际中亦不便应用。此外, 国内外针对圆管非满流的研究鲜有关于壁面切应力及紊动特性的成果报道。圆形断面管道非满流因具有特殊的双曲率边壁, 从而呈现出独特的水力特性, 准确掌握这些水力特性有助于分析输水涵洞、城市排水管网中的明满流及洪水演进过程, 对水资源合理调配、城市行洪能力评估及洪灾调度决策等均具有重要的实际意义。

    以物理模型试验为手段研究明渠的水力特性, 耗时较长且数据量不够丰富, 相比之下, 数值模拟这一替代方式更为便捷。本研究针对圆管非满流进行了数值模拟研究, 首先将数模结果与物理试验结果进行比较, 再利用验证后的数值模型进行模拟试验, 针对圆管非满流中的断面流速、壁面切应力及雷诺应力等水动力特性进行了分析研究。

    • 圆形断面管道内的水流可视为三维不可压缩流动, 可由Navier-Stokes连续方程和动量方程描述:

      $$ \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_i}}} = 0 $$ (1)
      $$ \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial t}} + {u_j}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} = {f_i} - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial {x_i}}} + \nu \frac{{\partial u_i^2}}{{\partial {x_j}\partial {x_j}}} $$ (2)

      式中: ρ为流体密度;uiuj为流速分量, i=1、2、3, j=1、2、3;xixj为坐标分量;p为压强, Pa;fi为质量力, N/kg;ν为运动黏性系数, m2/s。

      多数情况下工程实际中明渠水流是紊流, 本研究以雷诺时均方法进行数值计算, 应选定适合的紊流模型来封闭雷诺时均方程组。在窄深断面明渠中因受到水面和侧壁的共同作用, 水流具有三维结构特征[5-6], 对比宽浅明渠, 最显著的区别即在二次流影响下, 垂线最大流速点位于水面下, 即dip现象[7-10]。二次流现象是由于雷诺应力的各向异性产生的, RNG k-ε模型是典型的非线性紊流模型, 能够准确预测各向异性紊流[11], 本研究中采用RNG k-ε模型封闭雷诺方程组以展开数值模拟研究, ε输运方程与k输运方程具体为[11] :

      $$ \frac{{\partial \left( {\rho k} \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial (\rho k{u_i})}}{{\partial {x_i}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\alpha _k}{\mu _{{\text{eff}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right) + {G_k} + \rho \varepsilon $$ (3)
      $$ \frac{{\partial \left( {\rho \varepsilon } \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial (\rho \varepsilon {u_i})}}{{\partial {x_i}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\alpha _\varepsilon }{\mu _{{\text{eff}}}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}} \right) + {\text{ }}\frac{{{C_{1\varepsilon }}\varepsilon }}{k}{G_k} + {C_{2\varepsilon }}\rho \frac{{{\varepsilon ^2}}}{k} $$ (4)

      式中: k为湍动能, (kg·m2)/s2; ε为湍动能耗散率; μeff=μ+μtμeff为有效黏性系数, (N·s)/m2;μ为流体动力黏性系数, (N·s)/m2μt为流体涡黏性系数, (N·s)/m2Gk为由于平均速度梯度引起的湍动能产生项, m2/s2;一般取值αk=αε=1.39, C1ε=1.42, C2ε=1.68。

    • 圆管非满流数值模拟的设定边界条件为:上游设为流量入口, 给定相应的入口流量值;下游为自由出流;自由水面的处理采用Tru-VOF方法计算自由界面的水体体积率函数方程, 与传统VOF方法相比此方法更加高效精准;壁面边界条件设置为无滑移固壁条件, 壁面附近流速分布采用标准壁面函数计算。网格划分采用部分面积/体积障碍模拟(Fractional Area/Volume Obstacle Representation, FAVOR)技术, 这种技术采用平滑变化的六面体结构化网格对复杂边界的流动区域进行离散, 可高效解决网格模型失真问题[12]。为了验证计算结果的网格无关性, 选择合适的网格尺寸, 针对充满度为0.1(过流断面面积最小)的工况条件, 分别选择过流断面的网格尺寸为0.005 m、0.002 5 m和0.001 m, 横向垂向基本相同;沿流动方向网格尺寸分别选择0.05 m、0.02 m和0.01 m, 对比不同网格尺寸组合得到的数值解, 发现流速计算结果基本没有差异, 即认为在该网格分辨率变化范围内, 数值解与网格无关或依网格收敛。为提高计算效率, 数值试验中选择断面网格尺寸为0.005 m, 沿流动方向网格尺寸0.05 m。FAVOR技术采用有限差分法将控制方程组离散为代数方程组并进行求解, 动量方程中对流项和扩散项分别采用二阶迎风格式和二阶中心差分格式, 湍动能和湍动耗散率均采用二阶迎风格式, 计算残差值设为10-6;为保证数值稳定性, 时间步长设为自动调节, 并限定最小时间步长为10-6 s;将重力分解为纵向和垂向分量来体现坡度i对水流的影响。

      建立圆管非满流动几何模型, 管径0.4 m、管长50 m, 针对3种不同底坡i与12种不同充满度α(即水深/管径)共36种工况条件的圆管非满流进行数值计算, 具体工况参数见表 1

      表 1  数值计算的工况参数

      Table 1.  Operating parameters of numerical calculation

      α h/m Q/(m3·s-1) Re Fr 网格个数
      i=0.001 5 i=0.002 8 i=0.004 i=0.001 5 i=0.002 8 i=0.004 i=0.001 5 i=0.002 8 i=0.004
      0.10 0.04 0.024 6 0.033 6 0.040 1 8 505 11 620 13 888 0.648 0.885 1.057 130 800
      0.20 0.08 0.071 5 0.097 7 0.116 7 24 755 33 822 40 425 0.693 0.947 1.132 357 836
      0.30 0.12 0.127 9 0.174 7 0.208 8 44 281 60 500 72 341 0.703 0.961 1.148 634 138
      0.40 0.16 0.186 3 0.254 5 0.304 2 64 506 88 132 105 337 0.694 0.949 1.134 938 783
      0.50 0.20 0.240 9 0.329 2 0.393 5 83 440 114 001 136 258 0.673 0.919 1.098 1 256 637
      0.60 0.24 0.287 0 0.392 1 0.468 6 99 378 135 777 162 284 0.638 0.871 1.041 1 574 490
      0.70 0.28 0.319 7 0.436 8 0.522 1 110 714 151 265 180 796 0.589 0.805 0.963 1 879 135
      0.75 0.30 0.329 6 0.450 3 0.538 2 114 131 155 933 186 376 0.560 0.764 0.913 2 021 926
      0.80 0.32 0.334 1 0.456 5 0.545 7 115 716 158 098 188 964 0.523 0.715 0.854 2 155 437
      0.85 0.34 0.332 4 0.454 2 0.542 9 115 129 157 297 188 006 0.480 0.656 0.784 2 276 875
      0.90 0.36 0.322 9 0.441 2 0.527 4 111 839 152 801 182 633 0.425 0.581 0.694 2 382 473
      0.95 0.38 0.302 3 0.413 0 0.493 7 104 688 143 031 170 955 0.347 0.474 0.566 2 466 293
      注:h为水深;Q为流量
    • 为验证上述数学模型用于圆管非满流计算的可靠性, 对其断面流速分布进行了试验量测。试验在圆形断面有机玻璃质圆管中进行, 圆管直径0.4 m、长20 m且上部开敞(距顶部4 cm以上部分被切割掉), 圆管底坡i=0.004, 试验系统布置如图 1所示。通过控制阀给定不同的圆管首部流量Q, 为保证边界层充分发展并尽快形成均匀流, 在管道前后分别布置隔离板以减小水面波动, 选取距离首部15 m处为观测断面, 自中垂线向右等距平移2 cm设置测速垂线, 每条垂线上自水面向下等距降低2 cm布置测点, 试验水温在16 ℃左右, 对应的水动力黏度为1.1×10-3(N·s)/m2。流量采用HFT多普勒流量计测量, 测量精度为±0.5%;断面水深采用SCM60型水位测针测量, 精度为0.1 mm。采用Vetrino小威龙点式多普勒声波流速仪测量断面流速, 探头类型为平视探头, 流速采样频率为25 Hz, 选择多组工况、多个测点分别采集100个数据和5 000个数据, 对比2种样本容量下计算得到的时均流速值, 发现样本容量的增加对平均流速统计结果没有影响, 证明100的样本容量对于计算时均流速值具有足够精度。因此, 为了提高数据采集效率, 每个测点可采集100个数据, 以获得该测点处的时均流速值。

      图  1  试验布置

      Figure 1.  Schematic diagram of experimental apparatus

      试验结果及数值模拟结果对比的前提是保证两个流动过程都已形成均匀流, 研究中按照以下方式来确定物理试验和数值模拟中的均匀流断面: ①物理试验中, 分别选取距首部10 m、13 m、14 m、15 m、16 m、17 m的6个过流断面, 通过对比6个不同断面上相同对应位置测点的平均流速值发现, 在各个充满度条件下, 下游5个断面上任何两个断面之间各对应点的最大相对差值均在1.26%以内, 远小于10 m断面与13 m断面之间同一测点位置时均流速的相对差值12.3%, 因此, 可认为13~17 m管段各断面具有相同的流速分布廓线, 已经形成均匀流。②数值模拟中, 分别在后处理中截取距离首部20 m、28 m、29 m、30 m、31 m、32 m的6个过流断面, 每个断面上按照上述布置测点, 通过对比6个不同断面上相同对应位置测点的平均流速值发现, 在各种充满度条件下, 下游5个断面上各对应点的最大相对差值均在0.73%以内, 远小于20 m断面与28 m断面之间同一测点位置时均流速的相对差值8.7%, 因此可认为28~32 m管段各断面具有相同的流速分布廓线, 即此时已经形成均匀流。

    • 流速是水流运动的最基本物理要素, 紊流的内部结构、能量传递及阻力特性等各种动力要素均与流速分布相关或以流速分布体现[13], 对比时均纵向流速的计算值与实测值, 可以验证数学模型及计算参数的可靠性。

      表 2所示为流量Q=0.246 m3/s时, 过流断面不同垂线的时均纵向流速计算值与实测值对比。表中x为垂线横向位置, m;y/h为相对水深, 表示测点垂向位置y与水深h的比值;μt为流速实测值;μc为流速计算值;相对误差er=(μc-μt)/μt表 2显示, 纵向时均流速计算值与实测值的相对误差均在±4.2%以内, 表明上述数学模型及其参数对于模拟过流断面的时均纵向流速分布具有较高的计算精度。采用以上经验证的数学模型及计算参数, 对管径D=0.4 m、管长L=50 m的圆形断面管道36种组合工况条件下的无压流动进行了系列数值试验。

      表 2  Q=0.246 m3/s时流速计算值与实测值对比

      Table 2.  Comparison of calculated and measured velocity with Q=0.246 m3/s

      x/m y/h ut/
      (m·s-1)
      uc/
      (m·s-1)
      er/%
      0 1.0 1.750 1.708 -2.37
      0.8 1.753 1.729 -1.94
      0.6 1.754 1.806 2.97
      0.4 1.755 1.782 1.53
      0.2 1.734 1.702 1.85
      0.04 1.0 1.744 1.684 -3.41
      0.8 1.751 1.730 -1.21
      0.6 1.754 1.805 2.92
      0.4 1.754 1.826 4.05
      0.2 1.714 1.738 1.40
      0.08 1.0 1.575 1.561 -0.88
      0.8 1.734 1.735 0.11
      0.6 1.753 1.795 2.39
      0.4 1.746 1.765 1.09
      0.2 1.576 1.519 -3.57
      0.12 0.9 1.571 1.556 -0.87
      0.8 1.691 1.644 -2.79
      0.7 1.726 1.654 -4.12
      0.6 1.543 1.572 1.83
      0.5 1.489 1.526 2.47
    • 明渠断面流速分布长期以来是工程水力学研究的热点问题, 要精确测量明渠断面流量, 无论是采用流速-面积法, 还是采用流速-水位法, 均需准确掌握明渠断面的流速分布。国内鲜有圆形断面明渠流速分布的研究, 国外则主要以鱼道和涵管为实际应用对象, 采用宽浅明渠中的垂向流速对数律为基本模型, 并针对外区流速值偏离对数曲线的现象加以修正, 修正后的对数-尾流律成为接受度最高的垂线流速分布模型[14]。该流速分布模型在应用时存在诸多局限性, 如尾流强度系数的影响因素众多, 具体取值不易确定;积分常数取值存在异议;且对数函数在应用中需要积分求解流量时往往因原函数无法确定, 使得其应用范围受限。

      通过对数值计算结果的分析发现, 断面上各垂线的流速分布廓线普遍接近于二次函数曲线, 曲线拟合的决定系数均在0.92以上, 即任一垂线上u/Vy/h之间的函数关系可表示为

      $$ \frac{u}{V} = a{\left( {\frac{y}{{h}}} \right)^2} + b\left( {\frac{y}{{h}}} \right) + c $$ (5)

      式中: u为垂向位置y处流速, m/s; V为过流断面平均流速, m/s;abc为待定系数。

      受断面几何参数及水力参数的影响, 虽然各垂线流速分布有很好的相似性, 但决定具体流速分布曲线的待定系数abc却有所变化。假定其影响因素包括充满度α、底坡i和垂线横向位置x, 对各垂线流速拟合公式中的系数abc做多因素方差分析。结果表明, 当显著性水平为0.05时, 系数abci均不存在相关关系,但与充满度α和垂线所在的横向位置x显著相关, 且在不同流动区域表现出不同的影响规律。

      图 2i=0.004、不同充满度条件的断面中垂线流速分布廓线, 可见圆管非满流的垂线流速分布曲线对过流断面形式非常敏感, 充满度越大, 流速沿水深越呈非单调变化趋势, 即dip现象越明显。图 3i=0.004、α=0.7条件下, 不同横向位置处垂线上的流速分布, 由图 2可见, 不同横向位置处的垂线流速分布形式亦存在差异, 尤其是靠近边壁区域的垂线。

      图  2  不同充满度条件下的中垂线流速分布

      Figure 2.  Velocity profiles on mid-perpendiculars of different filling ratios

      图  3  不同横向位置处的垂线流速分布

      Figure 3.  Velocity profiles on different vertical lines

      时均纵向流速沿中垂线呈左右对称分布, 因此只需分析中垂线右侧即x>0的情形。根据系数abc在不同的流动区域受充满度和垂线横向位置的影响不同, 将过流断面沿横向划分为中心区和边壁区, 其中: ①当α < 0.5时, x≤2B/5为中心区, x>2B/5为边壁区(B为水面宽度, m);②当α≥0.5时, xD/3为中心区, x>D/3为边壁区。方差分析结果表明, 中心区的系数abc与横向位置x和充满度α均呈线性相关关系, 而边壁区的系数abc则主要受横向位置x的影响, 而与充满度α基本无关。通过回归分析, 得到不同流动分区待定系数abc与充满度α和垂线横向位置x之间的表达式, 如表 3所示, 其适用条件为: 0.10≤α≤0.95, 0.001 2 m3/s≤Q≤0.527 m3/s。

      表 3  待定系数abc的拟合函数关系式

      Table 3.  Fitting relations of a, b and c

      待定系数 α < 0.5 α≥0.5
      中心区(${x \leqslant \frac{2}{5}B} $) 边壁区($ {x > \frac{2}{5}B}$) 中心区(${x \leqslant \frac{1}{3}D} $) 边壁区(${x > \frac{1}{3}D} $)
      a -1.808-4.675 $ \frac{x}{D}$+1.152α -15.824+14.74α -0.125-1.433$ \frac{x}{D}$-0.799α 3.763 8-7.675α
      b 2.788+7.817$ \frac{x}{D}$-2.627α 29.621-31.994α -0.224+2.363$ \frac{x}{D}$-1.251α 6.371-4.730α
      c 0.253 9-4.151$ \frac{x}{D}$+1.361α -13.466+17.818α -0.772+0.157$ \frac{x}{D}$+1.979α -1.463+1.945α

      结合式(5)和表 3, 得到垂线流速的抛物型分布函数, 对比该函数计算值与物理模型试验量测值, 发现相对误差均在±4.7%以内, 表明抛物型分布律可较为准确地反映圆管无压均匀流中的流速分布, 且二次函数形式简单, 在准确掌握了圆管非满流流速分布规律后, 就可以通过量测过流断面上特征点流速来确定垂线平均流速和断面平均流速, 从而比较精确地计算圆管非满流的过流量, 便于工程实际应用。

    • 壁面切应力沿湿周的分布规律是剪切紊流运动相关研究的基本问题。本研究中采用标准壁面函数与RNG k-ε模型相结合, 求解得到壁面区各节点的壁面切应力。定义圆管壁面上的点距离管道中垂线最低点的距离为pw, 且取逆时针为正, 顺时针为负, 湿周为P, pw/P称为相对壁面距离;壁面上该点的局部切应力为τw, 湿周上的平均壁面切应力为τ0(τ0=ρgRi, 水力半径R=D(1-sinθ/θ)/4), τw/τ0称为相对切应力。

      分析壁面切应力计算结果, 壁面相对切应力τw/τ0沿湿周的分布形式及数值大小受底坡i的影响不显著, 而主要受充满度α的影响。图 4i=0.002 8、不同充满度条件下壁面切应力沿圆形断面管道湿周的分布, 由图 4可见, 不同充满度条件时的壁面切应力呈相似的分布规律, 最大壁面切应力出现于管道中垂线底部, 且向两侧呈递减的对称分布。统计整理各工况的最大壁面切应力计算结果, 通过回归分析表明, 最大相对切应力τwmax/τ0与充满度α呈良好的线性相关关系:

      $$ \frac{{{\tau _{{\text{w}_{{\text{max}}}}}}}}{{{\tau _0}}} = 0.257\alpha + 1.12\;\;\;\;\;({R^2} = 0.974) $$ (6)

      图  4  不同α时壁面切应力沿湿周的分布

      Figure 4.  Wall shear stress along the wetted perimeter for different filling degrees

      分析图 4中不同充满度的壁面切应力分布均接近于二次函数曲线特征, 按照二次函数进行曲线拟合的相关系数均在0.98以上, 但曲线形状与充满度α有关。考虑到壁面切应力的对称分布及抛物型分布特点, 并便于数据回归时做线性化处理, 令圆管明流的壁面切应力经验表达形式为

      $$ \frac{{{\tau _{\text{w}}}}}{{{\tau _0}}} = \frac{{{\tau _{{\text{w}_{{\text{max}}}}}}}}{{{\tau _0}}} + m{\left( {\frac{{{p_{\text{w}}}}}{P}} \right)^2}{\alpha ^n} $$ (7)

      式中: mn均为待定参数。对不同工况的壁面切应力计算结果作数据回归, 得m=-2.86, n=0.27。将mn参数值和式(6)代入式(7), 得到:

      $$ \frac{{{\tau _{\text{w}}}}}{{{\tau _0}}} = 0.257\alpha - 2.86{\left( {\frac{{{p_{\text{w}}}}}{P}} \right)^2}{\alpha ^{0.27}} + 1.12 $$ (8)

      式(8)即由数值计算结果回归得到的圆管无压均匀流中壁面切应力分布的经验公式, 分析式(8)可知, 充满度越大, 最大壁面切应力值越大, 且壁面切应力沿湿周的分布越不均匀。

    • 雷诺切应力是表征流体紊动特性的重要参数, 通过整理数值计算结果, 分析圆形断面管道非满流雷诺切应力的影响因素及分布规律。雷诺切应力的定义为[15]

      $$ {\tau _{Re}} = - \rho \overline {{{u'}_i}{{u'}_j}} = {\mu _{\text{t}}}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) $$ (9)

      在两方程涡黏模型中, 涡黏度μt由紊动能k和紊动耗散率ε表征:

      $$ {\mu _{\text{t}}} = \rho {C_\mu }{k^2}/\varepsilon $$ (10)

      式中: Cμ为经验常数值, 取Cμ=0.09。

      图 5所示为i=0.004、不同充满度条件下, 量纲一的量- uw / V*2(u′为纵向脉动流速, w′为垂向脉动流速, V*为摩阻流速)在断面中垂线上的分布规律。由图 5可见, 不同充满度条件下, 断面中垂线上的雷诺切应力均随相对水深的增加呈显著的线性递减关系, 且充满度越大, 雷诺切应力沿中垂线变化梯度越大。值得说明的是, Nezu和Rodi[16]曾提出矩形明渠中的雷诺切应力0 < -uw / V*2/ < 1, 且-uw / V*2沿垂向服从线性分布律(如图中斜线所示), 由图 5可知, α=0.1和α=0.3两种工况条件的雷诺切应力分布与传统的线性分布律吻合良好, 但α≥0.5时, 雷诺切应力分布开始偏离线性分布律, 且在相对水深为0.62~0.78范围内, 雷诺切应力由正转负, 其原因可能是此时出现了比较明显的第2类二次流, 从而影响了雷诺切应力的分布, 需要指出的是, 低充满度条件下也应存在二次流现象, 图 5充满度低于0.5时雷诺切应力之所以没有出现负值, 原因可能是中垂线的二次流现象本来就比边壁附近微弱, 因此雷诺切应力出现负值的临界充满度更大。图 6所示为i=0.001 5、α=0.3时不同垂线上的雷诺切应力分布, 可见不同垂线上的雷诺切应力均呈线性分布, 且在中垂线附近的区域符合Nezu的传统线性分布律, 距离中垂线横向距离越远, 雷诺切应力的垂向变化梯度越大, 数值由正转负的临界相对水深越低, 如图中x=0.2Dx=0.3D两条垂线上雷诺切应力分别在y/h=0.76和y/h=0.66处变为负值。

      图  5  不同α条件下中垂线的雷诺切应力-uw / V*2

      Figure 5.  Reynolds shear stress on mid-perpendiculars for different filling degrees

      图  6  不同垂线上的雷诺切应力-uw / V*2

      Figure 6.  Reynolds shear stress on different vertical lines

    • (1) 圆管无压流的断面流速分布对充满度非常敏感, 垂线流速分布曲线均接近于抛物线曲线特征, 二次函数中的待定系数主要受垂线横向位置和充满度的影响, 通过回归分析建立了圆管无压均匀流中沿垂线流速的抛物线分布公式。

      (2) 充满度越大, 最大壁面切应力值越大, 二者呈明显的线性相关关系, 通过回归分析建立了不同充满度条件下圆管无压均匀流中壁面切应力沿湿周的分布表达式。

      (3) 不同充满度条件下, 断面中垂线上的雷诺切应力均随相对水深线性递减, 且充满度越大, 雷诺切应力沿中垂线变化梯度越大。充满度低于0.5时, 雷诺切应力中垂线分布与传统的线性分布律吻合良好;充满度超过0.5时, 雷诺切应力分布开始偏离线性分布律。

参考文献 (16)

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